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【物理世界】量子霍尔效应(一):尘埃中洗涤出的整数

来源:必赢3003app_星力九代活动新注册送分      2020-06-13 12:33:01     阅读次数:701

【物理世界】量子霍尔效应(一):尘埃中洗涤出的整数

图一:霍尔效应的实验图示,原本往 x 方向流的电贺受到磁场的影响在 y 方向也形成电压,变成实验上可以测量的霍尔电压, credit: wikipedia

笔者儘管基于工作很常算数学,但上大学后几乎不常亲自动手做数字计算了。前几个月我在电脑上送出一个满複杂的积分,几秒后我得到

\(\displaystyle\frac{-12.56637062125499}{4\pi}\)

不知道读者们平常做算术的频率如何,在作业中遇到这种数字会不会觉得很沮丧?分子那一串数字已经无迹可寻,何况底下还除一个 \(4\pi\)?然而有趣是,在电脑有效的位数下,这个组合其实跑出了── \(-1.00000000000000\)

看到这个数字时,我鬆了口气,撇开在计算前我们已经知道结果的这种经验谈,当你在一连串杂乱无章的数字中翻滚,最后得到了一个至少达14位数精确度的整数──这应该不是巧合,背后理应有什幺法则在规範表象的魔法。

类似的奇蹟也发生在物理的实验中。设想将一块平板状的电晶体放在与样品垂直的磁场里,在样品的长的方向施加电流。我们回想在理化课程中谈过,电荷在磁场中感受的磁力总是与电荷速度垂直,也就是说当一个电荷被丢到磁场中,它会转弯。因而,儘管一开始施加的只是在长方向的电流,但在宽的方向也可以量到电压差,将宽方向的电压除以长方向的电流,古典上是一个叫做「霍尔电阻」RH的量,可以用来判定材料中流动电荷的正负号。Von Klitzing 的团队在 1980 年研究半导体电晶体的霍尔效应时,发现在低温高磁场的状况下,霍尔常数、电子电荷 e 与普朗克常数 h 形成的一个比值是整数,而且是极度精确(超过百万分之一的精确度)的整数,此外,当我们将电阻对磁场作图时,可以看到明显的平台结构。

\(\displaystyle n=\frac{h}{e^2R_H}\)

即便今日,我们也没办法确定半导体材料中没有杂质,遑论 30 年前?也因此当科学家发现这样精确的整数,十之八九是淘到了宝。

在材料内发生的故事可以这幺想像:首先,当电荷初始的速度与磁场垂直且没有电场时,它的运动模式是绕着一个圆圈转。所以我们可以进一步想像一块平板的材料,它的垂直方向被加了磁场,里面的电荷就都开始转圈,在量子力学的层次,整个材料好像变成了一个公寓,一个圈圈代表一个房间,里面住着一个电荷。现在应该没什幺公寓只有一楼的,在磁场中的材料也是。兰道(L. D. Landau)指出,这些公寓也有很多楼层,称为兰道阶(Landau Level),住同一楼的电荷们都有一样的能量,楼层越高,能量(房租)越高。霍尔测量中的整数,可以对应到住满的兰道阶数。[注1]

在抽象数学的层次上,被佔满的兰道阶数目对应到所谓的「陈数」(Chern Number)。我在文章开头所讲提的那些数字,即是某个模型的陈数。(这也是为什幺我看到是 \(-1.000000000\) 后便安心的去睡觉了。)儘管陈数的由来不是简单的数学概念,但却有一个简单的图像可以理解它为什幺是整数:设想某个庭院的正中央有一个半径为 1 公尺的喷水池,有一路人甲从喷水池的某个点出发,绕着水池走了不知道几圈后回到同一个点,这时候他想知道

全程下来他共绕了几圈?这个问题显然有很多方法可以回答(比如调个监视器重播。)其中一个很拐弯抹角的方法就是找一个人计算甲所走过的路径,再除以 2π ; 对于不明究理被找来计算的人而言,他就是在做一个複杂的积分计算,但我们旁观者知道它有一个明确的意义:答案是圈数,是一个整数!陈数可以理解成在一个比较抽象的空间中计算定义的「绕数」。透过这个譬喻也可以理解,陈数是一个跟「拓朴」相关的数,跟你庭院中有没有喷水池有绝对的关係,但跟你走动的细节关係不大。

从这个观点来看,出现一系列整数的序列似乎是有迹可循的,然而,这并不是故事的尾声。1982 年崔琦的团队首先发现上面的比值可以是 \(\frac{1}{3}\)、\(\frac{2}{5}\) 等分数,这是分数霍尔效应的开端,掀起的波澜直至今日都未能平复。

【物理世界】量子霍尔效应(一):尘埃中洗涤出的整数

图二:实验上可看到电阻率有平台的结构, credit: wikipedia

连结:【物理世界】量子霍尔效应(二):分数量子化与 Laughlin 波函数


参考资料:

注解:

[1]但是兰道阶不足以解释实验中发现的平台结构,也无法说明这个状态的坚韧性。R. Laughlin 在实验结果出来后不久利用材料中的杂质与无序以及电磁学中的对称性提出了解释,不过那部分比较抽象,就不详谈。

[2]作者看到一些评论指出单纯兰道阶不足以完整说明整数量子霍尔效应。这个评论是对的,这也是作者需要在注脚引述 Laughlin 文章的原因。

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